《函數(shù)的應(yīng)用》指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)PPT

第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋

1.能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

2.了解函數(shù)模型在社會(huì)生活及科研中的廣泛應(yīng)用.

3.培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

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函數(shù)的應(yīng)用PPT，第二部分內(nèi)容：課前篇自主預(yù)習(xí)

一、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型 

函數(shù)模型 函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)

與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)

與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0)

二、三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較

1.填空.

y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)

在(0,+∞)上的單調(diào)性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù)

增長(zhǎng)速度 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 相對(duì)平穩(wěn)

圖像的變化  隨x值增大,圖像與y軸接近平行 隨x值增大,圖像與x軸接近平行 隨n值變化而不同

2.做一做:某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,獲得了如下一組數(shù)據(jù):

則x,y的函數(shù)關(guān)系最接近(其中a,b為待定系數(shù))函數(shù)(　　)

A.y=a+bx

B.y=bx

C.y=ax2+b

答案:B

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函數(shù)的應(yīng)用PPT，第三部分內(nèi)容：課堂篇探究學(xué)習(xí)

指數(shù)函數(shù)模型

例1諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為:每年一發(fā),把獎(jiǎng)金總額平均分成6份,獎(jiǎng)勵(lì)給分別在物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平上為人類做出最有益貢獻(xiàn)的人,每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半,另一半利息作基金總額,以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加.假設(shè)基金平均年利率為r=6.24%.資料顯示:2015年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額約為19 800萬(wàn)美元.設(shè)f(x)表示第x(x∈N+)年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額.(2015年記為f(1),2016年記為f(2),…,依次類推)

(1)用f(1)表示f(2)與f(3),并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式;

(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2025年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬(wàn)美元”是否為真,并說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):1.031 29≈1.32)

分析:指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用是高考的一個(gè)主要內(nèi)容,常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查.在實(shí)際問(wèn)題中,有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以用指數(shù)型函數(shù)模型來(lái)表示.通�？杀硎緸閥=a(1+p)x(其中a為原來(lái)的基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.

解:(1)由題意知f(2)=f(1)(1+6.24%)-   f(1)·6.24%=f(1)×(1+3.12%),

f(3)=f(2)×(1+6.24%)-   f(2)×6.24%

=f(2)×(1+3.12%)=f(1)×(1+3.12%)2,

∴f(x)=19 800(1+3.12%)x-1(x∈N+).

(2)2024年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額為f(10)=19 800(1+3.12%)9≈26 136,

故2025年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金為       f(10)·6.24%≈136(萬(wàn)美元),與150萬(wàn)美元相比少了約14萬(wàn)美元,是假新聞.

反思感悟指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)經(jīng)復(fù)合可以得到指數(shù)型函數(shù),指數(shù)型函數(shù)的函數(shù)值變化較快,指數(shù)型函數(shù)函數(shù)值的增長(zhǎng)速度隨底數(shù)不同而不同,并且根據(jù)已知數(shù)據(jù)的關(guān)系能建立起模型,進(jìn)而能對(duì)未知進(jìn)行推斷.

變式訓(xùn)練1某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn),如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%,試解答下面的問(wèn)題.

(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬(wàn))與年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn));

(3)計(jì)算大約多少年后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)(精確到1年)((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21).

解:(1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)(萬(wàn));

2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2(萬(wàn));

3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)3(萬(wàn));

該城市人口總數(shù)y(萬(wàn))與年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系式為y=100×(1+1.2%)x.

(2)10年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)10≈100×1.127≈112.7(萬(wàn)).

(3)令y=120,則有100×(1+1.2%)x=120,

解方程可得x≈16,

即大約16年后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn).

對(duì)數(shù)函數(shù)模型

例2 某地一漁場(chǎng)的水質(zhì)受到了污染.漁場(chǎng)的工作人員對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后,決定往水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì).已知每投放質(zhì)量為m(m∈N+)個(gè)單位的藥劑后,經(jīng)過(guò)x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y=mf(x),其中f(x)={■(log_3 "(" x+4")(" 0<x≤5")," @6/(x"-" 2) "(" x>5")," )┤當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)時(shí)稱為有效凈化;當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時(shí)稱為最佳凈化.

(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為m=6,那么漁場(chǎng)的水質(zhì)達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天?

(2)如果投放的藥劑質(zhì)量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內(nèi)的漁場(chǎng)的水質(zhì)達(dá)到最佳凈化,試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的取值范圍.

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函數(shù)的應(yīng)用PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析

因未弄清函數(shù)類型而致誤

典例 某林區(qū)2018年木材蓄積量為200萬(wàn)立方米,由于采取了封山育林、嚴(yán)禁砍伐等措施,使木材蓄積量的年平均增長(zhǎng)率達(dá)到5%.

(1)若經(jīng)過(guò)x年后,該林區(qū)的木材蓄積量為y萬(wàn)立方米,求y=f(x)的表達(dá)式,并求此函數(shù)的定義域;

(2)求經(jīng)過(guò)多少年后,林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬(wàn)立方米.

錯(cuò)解:(1)現(xiàn)有木材蓄積量為200萬(wàn)立方米,經(jīng)過(guò)1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);

經(jīng)過(guò)2年后木材蓄積量為200(1+5%×2);

經(jīng)過(guò)x年后木材蓄積量為200(1+5%·x).

所以y=f(x)=200(1+5%·x)(x∈N+).

(2)設(shè)x年后木材蓄積量為300萬(wàn)立方米,

正解:(1)現(xiàn)有木材蓄積量為200萬(wàn)立方米.

經(jīng)過(guò)1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);

經(jīng)過(guò)2年后木材蓄積量為200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;

所以經(jīng)過(guò)x年后木材蓄積量為200(1+5%)x.

所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N+).

(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值驗(yàn)證可知8<x<9,所以取x=9,即經(jīng)過(guò)9年后,林區(qū)的木材蓄積量能達(dá)到300萬(wàn)立方米.

防范措施對(duì)此類問(wèn)題首先要弄清題目,木材蓄積量年平均增長(zhǎng)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上為一指數(shù)函數(shù)類模型.若初始蓄積量為a,年平均增長(zhǎng)率為b%,則x年后木材蓄積量y與x的關(guān)系為y=a(1+b%)x,x∈N+.另外還有儲(chǔ)蓄等問(wèn)題也屬于指數(shù)型函數(shù)模型.因此大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中多積累實(shí)際素材,每一類實(shí)際問(wèn)題都有其自身的規(guī)律特點(diǎn).

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函數(shù)的應(yīng)用PPT，第五部分內(nèi)容：當(dāng)堂檢測(cè)

1.(多選)某種商品2018年提價(jià)25%,2020年要降價(jià),但不能低于原價(jià),則可以降價(jià)(　　)

A.25% B.20% C.15% D.10%

答案:BCD

2.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于y,t之間的數(shù)據(jù),將其整理后得到如下的圖像,下列函數(shù)中,最能近似刻畫y與t關(guān)系的是(　　)

A.y=2t

B.y=2t2

C.y=t3

D.y=log2t

答案:D

解析:此曲線符合對(duì)數(shù)函數(shù)的變化趨勢(shì).

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